Abstract Nonsense

记录学习过程中出现的一些想法,我自己也认为它们可能错得离谱,而放到这里应该没什么人看,看了也不会来骂我。

但愿能够永远未完待续。


一个目的是(说得好听!)为了展示,同一个概念可以有许多种不同的理解方式(尽管它们不一定严谨,乃至不一定是正确的)。


只是一些碎片的语句(乃至词汇),分割线上下的文字没有必要的逻辑关联性。



我们定义归纳数据类型(不引起困惑时简写为数据)的构造方式,但定义余归纳数据类型(或称余数据,尤用于与数据一词对比)的解构方式。


通常来说(即维基百科上的说法),范畴是用策-弗公理定义的。然而 nLab 说范畴也可以进行公理化的定义进而作为一种数学的基础。那听起来好像美妙一些。


函子是范畴间的某种类似同态的东西。

两个幺半群(说起来,幺字本来是一字的方言说法,真是搞笑)上的一个同态遵守如下规则。

  • 保留幺元;
  • 保留运算。

而两个范畴间(上面用了上字,这里为什么用了间字?)的一个函子遵守如下规则。

  • 保留恒等箭头(像是一堆幺元,不是吗?不一样的地方是幺半群一般只有一个幺元);
  • 保留组合(组合就是运算。注意不同范畴的组合这个概念不一定一样,这和同态又对应起来了)。另一个不一样的地方是幺半群里每个元素都能参与运算,但不是每两个箭头都能组合的。

函子的性质。说实话后三个跟函数的性质很像,数学家们为什么不起相似一些的名字。

遗忘:抛弃了一些结构和限制。比如从 Grp 射到 Set,把附带的运算都丢掉了,箭头只能是同态的限制也去掉了。

同构:很像双射。不用我多说了吧。

满:两个物件被射过去之后,之间不会有新的箭头。也就是说目标那边的 hom- 集里的所有箭头全被射上了。很像满射。

忠实(搞笑的名字):每两个相异的箭头会被射到两个相异的箭头,也就是说不会被射到同一个箭头。也就是说如果两个箭头射到了同一个箭头上,那么原本这两个箭头相等。前面几句全是一样的意思,但我怕我之后回来看不懂。很像单射。


自然变换构成一个交换的方块,左上到右下的对角线是映射后的箭头。


『自然同构』,是说变换中的每个箭头可逆,而不是说两个函子映到的物件必须一一对应。


幺半群可以定义成单点的范畴,其中点毫无含义。


单的箭头可以被右取消,也就是说可以有左逆。这句话听上去不像是人说的,所以我们解释一下。其实也不能叫解释,但是反正我只能理解和集合挂钩的东西,所以我就用集合来举个例子。单的箭头在集合上就是单射。一个单箭头 hh 左侧接上两个从同一个物件射来的箭头 m,nm, n,那么那两个箭头的不同输出都被映到这个单箭头的不同输出上,那么如果 mh=nhm \circ h = n \circ h(也就是对于所有输入相等),那么 mmnn 也就相等了,这就是右取消。

上的箭头可以被左取消,也就是说可以有右逆,在集合上就是满射。Set\bf Set 里一个上的箭头 hh 右侧接上射到同一个物件的箭头 m,nm, n,因为 hh 是满的,所以所有情况都是被考虑的,所以如果 hm=hnh \circ m = h \circ n,那么 mmnn 就相等,这就是右取消。


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